Американский математик Деннис Салливан получил одну из самых престижных наград в области математики за свой вклад в топологию — он занимался изучением качественных свойств у форм разных предметов. «Хайтек» рассказывает подробнее о победителе и его вкладе в науку.
Создать классификацию многообразий, описать любой граф и предсказать, как меняется орбита планеты, — всем этим занимался лауреат Абелевской премии Деннис Салливан.
Топология — это наука, она заключается в изучении свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.
«Салливан неоднократно менял наш взгляд на топологию. Он вводил новые концепции, доказывал знаковые теоремы, отвечал на старые гипотезы и сформулировал новые проблемы, которые продвинули область вперед», — текст речи организаторов премии Абеля 2022 года. Его вознаграждение составило $854 тыс.
На протяжении всей своей работы Салливан переходил из одной области математики в другую и решал задачи, используя самые разнообразные инструменты, отмечают организаторы.
С тех пор, как премия Абеля была впервые присуждена в 2003 году, она стала наградой за достижения на протяжении всей жизни человека, говорит Ханс Мунте-Каас, председатель комитета из Университета Бергена. Последние 24 лауреата премии Абеля — это все известные математики. «Приятно быть частью этого выдающегося списка», — говорит Салливан.
О победителе
Салливан родился в Порт-Гуроне, штат Мичиган, в 1941 году и вырос в Техасе. Он начал свою математическую карьеру в 1960-х годах. В то время топология бурно развивалась, исследователи занимались тем, что пытались классифицировать все существующие многообразия.
Многообразие в математике — это топологическое пространство, которое на маленьких масштабах линейно, неотличимо от плоскости. Но глобальная форма многообразия не всегда похожа на форму плоского пространства, точно так же, как поверхность сферы отличается от поверхности двумерного листа. В таком случае говорят, что эти объекты топологически различны.
В чем суть работы лауреата?
- Топология
В середине XX века математики поняли, что топология многообразий работает совершенно по-разному. Все зависит от количества измерений у объекта, говорит Салливан.
Изучение многообразий, если измерений было четыре и меньше, очень напоминало геометрию, считает он. Методы тоже были геометрические: фигуры разрезали на части, а затем соединяли обратно.
Но для объектов с большим числом измерений — пять и больше — получилось продвинуться гораздо дальше. Салливан вместе с другими исследователями создал классификацию многообразий. Он разбил проблемы на те, что можно было бы решить и с помощью алгебраических вычислений, говорит Нильс Баас, математик из Норвежского университета науки и техники в Тронхейме.
Салливан заявил, что больше всего он гордится результатами, которые получил в 1977 году. Он смог определить важнейшие свойства пространства с помощью инструмента, который называется рациональная гомотопия. Это стало одной из его самых цитируемых работ и наиболее широко применяемых методик.
Гомотопия — семейство непрерывных отображений, прообразом и образом которых являются топологические пространства. То есть что мы можем сделать с объектом через растяжение, сжатие и вязкое смещение — это когда вместе с точкой смещается некоторая ее окрестность. Это нужно для алгоритмического описания процессов и выстроения логики архитектуры с помощью математической модели.
- Динамические системы
В 1980-х годах Салливан стал интересоваться динамическими системами. Это системы, которые развиваются с течением времени — орбиты планет или циклические изменения в популяции. Здесь он тоже внес вклад, достойный премии Абеля, говорит Мунте-Каас.
В частности Салливан доказал факт, который с помощью компьютерного моделирования обнаружил американский физик-математик Митчелл Фейгенбаум. Определенные числа, называющиеся сегодня константами Фейгенбаума, появляются во многих типах динамических систем, и работа Салливана объясняла почему.
«Одно дело знать это из эксперимента на компьютере, и совсем другое — знать это как точную математическую теорему», — говорит Салливан. Другие математики пытались доказать это с помощью существующих инструментов, но у них ничего не получилось.
- Классификация графов
Салливан с коллегой с Биллом Парри смог впервые сформулировать инвариант Парри — Салливана — это число, с помощью которого можно создавать классификацию и частично одномерные динамические системы.
Они заявили, что из любого графа можно сделать матрицу инцидентности, в ней строки будут вершинами, а столбцы — ребрами. В результате работы выяснилось, что определитель разности в единичной и квадратной матрицах инцидентности топологически нельзя измерить. Авторы решили использовать его, чтобы описать структуру графа.
- Турбулентное поведение жидкостей
В последующие десятилетия Салливан увлекся турбулентным поведением жидкостей, например, потоков воды. Он сказал, что его мечта — обнаружить закономерности, которые могли бы сделать такое движение предсказуемым в больших масштабах.
По словам председателя Абелевского комитета Ханса Мунте-Кааса, одно из важных качеств лауреата — способность находить взаимосвязи и аналогии между разными и достаточно далекими областями математики.
Читать далее
«Джеймс Уэбб» сделал самую четкую фотографию звезды в истории
Квантовая зарядка позволит рекордно быстро заряжать электромобили